Examen de Matemàtiques II de selectivitat — Andalusia 2024

Ejercicio 1 (2,5 puntos)

Sea la función $f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \ln(x)$, donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano, y los puntos de su gráfica $A(1, 0)$ y $B(e, 1)$.

a) [1,5 puntos] Determina, si existen, los puntos de la gráfica de $f$ en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta que pasa por los puntos $A$ y $B$.

b) [1 punto] Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto $A$.

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Ejercicio 2 (2,5 puntos)

Considera la función continua $f$ definida por

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x\cos(x) - a\,\text{sen}(x)}{x^3} & \text{si } x < 0 \\[6pt] b\cos(x) - 1 & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$

Calcula $a$ y $b$.

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Ejercicio 3 (2,5 puntos)

Considera la función $f$ definida por $f(x) = \dfrac{x^3 + 2}{x^2 - 1}$, para $x \neq -1$, $x \neq 1$. Calcula una primitiva de $f$ cuya gráfica pase por el punto $(0, 1)$.

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Ejercicio 4 (2,5 puntos)

Halla la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $f''(x) = x\cos(x)$ y cuya gráfica pasa por los puntos $\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$ y $(\pi, 2\pi)$.

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Ejercicio 5 (2,5 puntos)

Considera la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 1/8 & 1/8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) [1 punto] Calcula $A^{2024}$.

b) [1,5 puntos] Halla la matriz $X$, si es posible, que verifica $A^2XA + I = O$, donde $I$ y $O$ son la matriz identidad y la matriz nula de orden 3, respectivamente.

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Ejercicio 6 (2,5 puntos)

Considera el sistema

$$\begin{cases} y + z = 1 \\ (k-1)x + y + z = k \\ x + (k-1)y + z = 0 \end{cases}$$

a) [1,75 puntos] Discute el sistema según los valores de $k$.

b) [0,75 puntos] Para $k = 1$ resuelve el sistema, si es posible. ¿Hay alguna solución en la que $y = 0$? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.

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Ejercicio 7 (2,5 puntos)

a) [1,25 puntos] Halla el punto simétrico de $P(2, 2, 1)$ respecto de la recta $r \equiv \begin{cases} x - 2y + z = 2 \\ y - z = 1 \end{cases}$

b) [1,25 puntos] Halla el punto simétrico de $Q(1, -1, -3)$ respecto del plano $\pi \equiv x - 2y + z + 6 = 0$.

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Ejercicio 8 (2,5 puntos)

Considera las rectas $r \equiv \begin{cases} y = 0 \\ 2x - z = 0 \end{cases}$ y $s \equiv \begin{cases} x + y + 7 = 0 \\ z = 0 \end{cases}$

a) [1 punto] Estudia la posición relativa de $r$ y $s$.

b) [1,5 puntos] Calcula la ecuación del plano paralelo a $r$ y $s$ que equidista de ambas rectas.