Examen de Matemàtiques II de selectivitat — Andalusia 2022

BLOQUE A

Ejercicio 1. (2,5 puntos)

Considera la función continua $f$ definida por

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{x} & \text{si } x < -1 \\ ax + b & \text{si } -1 \leq x < 1 \\ \dfrac{x^2}{x+1} & \text{si } x \geq 1 \end{cases}$$

a) Calcula $a$ y $b$. (1 punto)

b) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de $f$. (1,5 puntos)

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Ejercicio 2. (2,5 puntos)

De entre todos los rectángulos con lados paralelos a los ejes de coordenadas, determina las dimensiones de aquel de área máxima que puede inscribirse en la región limitada por las gráficas de las funciones $f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, definidas por $f(x) = 4 - \dfrac{x^2}{3}$ y $g(x) = \dfrac{x^2}{6} - 2$.

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Ejercicio 3. (2,5 puntos)

Sea $f$ la función definida por

$$f(x) = \begin{cases} 2x + 4 & \text{si } x < 0 \\ (x-2)^2 & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$

a) Calcula los puntos de corte de la gráfica de $f$ con el eje de abscisas y esboza la gráfica de la función. (1 punto)

b) Halla el área del recinto limitado por la gráfica de $f$ y por el eje de abscisas. (1,5 puntos)

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Ejercicio 4. (2,5 puntos)

Considera la función $f$ definida por $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 - 2x + 1}$ para $x \neq 1$. Halla una primitiva de $f$ que pase por el punto $(2, 6)$.

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BLOQUE B

Ejercicio 5. (2,5 puntos)

Considera el sistema:

$$\begin{cases} x - y + mz = -3 \\ -mx + 3y - z = 1 \\ x - 4y + mz = -6 \end{cases}$$

a) Discute el sistema según los valores de $m$. (1,75 puntos)

b) Para $m = 2$ resuelve el sistema, si es posible. (0,75 puntos)

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Ejercicio 6. (2,5 puntos)

Considera la matriz $A = \begin{pmatrix} m & \sqrt{m} & \sqrt{m} \\ \sqrt{m} & m & 1 \\ \sqrt{m} & 1 & m \end{pmatrix}$, donde $m \geq 0$.

a) ¿Para qué valores de $m$ tiene inversa la matriz $A$? (1 punto)

b) Para $m = 4$ resuelve, si es posible, la ecuación matricial $AX = 12I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. (1,5 puntos)

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Ejercicio 7. (2,5 puntos)

Se consideran los vectores $\vec{u} = (-1, 2, 3)$ y $\vec{v} = (2, 0, -1)$, así como el punto $A(-4, 4, 7)$.

a) Calcula $a$ y $b$ para que el vector $\vec{w} = (1, a, b)$ sea ortogonal a $\vec{u}$ y $\vec{v}$. (0,75 puntos)

b) Determina los cuatro vértices de un paralelogramo cuyos lados tienen las direcciones de los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$, y que tiene al vector $\overrightarrow{OA}$ como una de sus diagonales, siendo $O$ el origen de coordenadas. (1,75 puntos)

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Ejercicio 8. (2,5 puntos)

Considera la recta $r \equiv x - 2 = \dfrac{y}{-1} = \dfrac{z-1}{2}$, así como la recta $s$ determinada por el punto $P(1, 2, 3)$ y el vector director $\vec{v} = (1+a,\, -a,\, 3a)$.

a) Calcula $a$ para que las rectas $r$ y $s$ se corten. (1,5 puntos)

b) Calcula $a$ para que las rectas $r$ y $s$ sean perpendiculares. (1 punto)