Examen de Matemàtiques II de selectivitat — Andalusia 2020

PRUEBA DE ACCESO Y ADMISIÓN A LA UNIVERSIDAD

ANDALUCÍA, CEUTA, MELILLA y CENTROS en MARRUECOS

CURSO 2019–2020

MATEMÁTICAS II

Instrucciones:

a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Este examen consta de 8 ejercicios.

c) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2.5 puntos.

d) Se realizarán únicamente cuatro ejercicios de los ocho ejercicios propuestos. Si se realizan más de cuatro ejercicios, solo se evaluarán los primeros cuatro ejercicios que aparezcan físicamente en el papel de examen.

e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

f) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0.25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

Ejercicio 1 (2.5 puntos)

Considera la función $f$ definida por $f(x) = \dfrac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 1}$ para $x \neq 1, -1$.

a) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de $f$. (1.25 puntos)

b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$. (1.25 puntos)

Ejercicio 2 (2.5 puntos)

Calcula $a > 0$ sabiendo que el área de la región determinada por la gráfica de la función $f(x) = xe^{3x}$, el eje de abscisas y la recta $x = a$ vale $\dfrac{1}{9}$.

Ejercicio 3 (2.5 puntos)

Considera la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & m+2 \\ 0 & 1 & m+1 \\ m & 0 & 5 \end{pmatrix}$.

a) Estudia el rango de $A$ según los valores de $m$. (1.5 puntos)

b) Para $m = 2$, calcula la inversa de $2020A$. (1 punto)

Ejercicio 4 (2.5 puntos)

Siendo $a \neq 0$, considera las rectas

$$r \equiv x - 1 = y - 2 = \dfrac{z - 1}{a} \quad \text{y} \quad s \equiv \dfrac{x - 3}{-a} = \dfrac{y - 3}{-1} = \dfrac{z + 1}{2}$$

a) Estudia la posición relativa de ambas rectas según los valores de $a$. (1.25 puntos)

b) Para $a = 2$, determina las ecuaciones de la recta que pasa por el punto de corte de $r$ y $s$ y es perpendicular a ambas. (1.25 puntos)

Ejercicio 5 (2.5 puntos)

Sea $f : [0, 2\pi] \to \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = \dfrac{\sen x}{2 - \cos x}$.

a) Halla los extremos absolutos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). (2 puntos)

b) Determina la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = \dfrac{\pi}{3}$. (0.5 puntos)

Ejercicio 6 (2.5 puntos)

Sea $f$ la función dada por $f(x) = \dfrac{3x^2 + 4}{(x - 2)^2}$ para $x \neq 2$.

a) Calcula $\displaystyle\int f(x)\,dx$. (2 puntos)

b) Calcula la primitiva de $f$ cuya gráfica pasa por el punto $(3, 5)$. (0.5 puntos)

## Ejercicio 7 (2.5 puntos)

Considera $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 4 & 1 & 4 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} a \\ 2a \\ 3a \end{pmatrix}$ y $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$.

a) Discute el sistema dado por $AX = B$, según los valores de $a$. (1.25 puntos)

b) Para $a = 0$, resuelve el sistema dado por $AX = B$. Calcula, si es posible, una solución en la que $y + z = 4$. (1.25 puntos)

Ejercicio 8 (2.5 puntos)

Se considera el punto $A(1, -2, 0)$ y la recta $r \equiv \begin{cases} x + y = 0 \\ y - 3z + 2 = 0 \end{cases}$

a) Calcula la ecuación del plano que pasa por $A$ y es perpendicular a $r$. (1.25 puntos)

b) Calcula la ecuación del plano que pasa por $A$ y contiene a $r$. (1.25 puntos)